Mécanique Quantique
Historique

Au début du siècle, plusieurs expériences vont conduire les physiciens à revoir totalement leur façon d'envisager la physique. Le temps des théories bien terre à terre est révolu. Place alors aux théories mathématiques.

Après la découverte de l'Effet Zeeman anormal puis l'expérience de Stern et Gerlach, Schrödinger puis Dirac et bien d'autres, vont développer la mécanique quantique. Cette théorie apparemment va vite se réveler très puissante pour expliquer toutes les observations troublantes qui se présenteront à elle.

Aujourd'hui, toutes les descriptions de systèmes microscopiques dérivent de la mécanique quantique, en particulier dans le domaine de la physique des particules.

Le Formalisme

La Mécanique utilise des raisonnements totalement différents des théories qui existaient avant elle. Au lieu de représenter des systèmes par leurs caractéristiques concrètes, on les représente un vecteur d'un espace de Hilbert, c'est à dire un objet mathématique dont on va ensuite déduire des résultats concrets. Cet objet peut aller du simple vecteur colonne en dimension finie aux fonctions d'onde, en passant par leurs combinaisons. Le carré du module du vecteur d'onde d'une particule calculé en un point représente alors la probabilité pour la particule de se trouver en ce point.

Les opérations visant à donner les résultats d'une mesure sont décrites par des observables, c'est à dire des opérateurs hermitiques diagonalisables. L'effet d'une mesure est alors donné par l'application de l'observable correspondante.

En mécanique quantique, on ne prévoit pas le résultat d'une mesure mais seulement la probabilité des différents résultats. Ces probabilités sont données par le deuxième postulat.

Les Postulats

Le premier postulat de la mécanique affirme tout simplement que tout système peut être intégralement représenté par une fonction d'onde. Comme on l'a dit précédemment, il suffit ensuite d'appliquer une observable au vecteur d'onde pour obtenir les probabilités des différents résultats.

Justement, à propos de ces probabilités, le postulat de la mesure dit que la probabilité d'obtenir un certain résultat est le carré de la projection du vecteur d'onde du système sur l'état correspondant à ce résultat. Par ailleurs, il affirme de plus, que le vecteur d'onde du système devient aussitot la mesure, égale à cette projection. [Equation de Schrödinger] Le troisième postulat conserne l'évolution d'un système dans le temps. La variation du vecteur d'onde avec le temps est régie par l'équation de Schrödinger dans le cas classique (1). H est appelé Hamiltonien du système et vaut souvent comme indiqué par (2). Ainsi, lorsque un système est dans un état propre de l'hamiltonien H, il y reste. Les états stationnaires sont donc les états propres de l'hamiltonien.

Les Conséquences Importantes

Les postulats permettent donc d'affirmer que si le système est dans un état propre de l'observable avant la mesure, alors la probabilité d'obtenir la valeur correspondante est 1. Par ailleurs, comme le vecteur d'onde d'un système est modifiée lors de l'application d'une observable, on a un des principes de base de la théorie : la mesure perturbe le système. On peut également remarquer que les valeurs propres de l'hamiltonien sont en fait les différentes énergies accessibles au système dans un état stationnaire. Enfin, le célèbre principe d'incertitude d'Heisenberg (3) pose également une des idées fondamentales de la mécanique quantique à savoir qu'on ne peut pas connaître simultanément la position et l'impulsion d'une particule avec une précision infinie.

L'Expérience de Stern et Gerlach

En 1921, Stern et Gerlach font passer un faisceau d'atomes d'argent dans une région où règne un champ magnétique à fort gradient vertical. Les atomes d'argent possèdent un moment magnétique et vont donc être déviés dans cette région. Comme le moment magnétique est à priori orienté n'importe comment, il s'attendent à obtenir sur leur écran, une tache continue correspondant au spectre continu des valeurs possibles due la projection du moment magnétique sur l'axe vertical. En fait, au lieu de cette marque continue, ils constatent la présence d'uniquement deux taches, symétrique par rapport à l'axe original du faisceau d'atomes. Ceci prouve que le moment magnétique des atomes ne prend en fait que deux valeurs possibles, l'une opposée de l'autre.

Depuis on sait que cette observation est due au fait que cet expérience se modélise dans un espace à deux dimensions et que donc, l'observable associée à la mesure du moment magnétique ne peut avoir que deux valeurs propres distinctes, qui par ailleurs, sont opposées. Ainsi, chaque tache correspond à une valeur propre de l'observable moment magnétique.

L'Effet Zeeman

Entre 1845 et 1862, Faraday tentera de montrer l'influence des champs magnétiques sur le rayonnement. Cependant, les problèmes pratiques l'en empècheront. En 1896, Zeeman constate que ces champs séparent les raies du cadmium et du zinc en un nombre impair de nouvelles raies spectrales. Ce phénomène appelé effet Zeeman, fut rapidement expliqué par Lorentz en particulier qui parvint à le justifier par des raisonnements classiques.

Cependant, en observant l'effet Zeeman sur du soduim, Zeeman constata une dégénérescence paire, inexplicable par ces travaux. Cet effet Zeeman Anormal restera inexpliqué jusqu'en 1926, date à laquelle les théories de Pauli et Uhlenbeck conduisirent à introduire le spin. On compris alors que ces dégénérescences, quelque soit leur parité, était dues aux différents états de spin du système considéré. En effet, l'hamiltonien calculé sans considérer le spin possède une unique valeur propre pour un espace de dimension multiple. On n'a donc qu'une raie spectrale alors que plusieurs états différents sont possibles. Lorsqu'on considère le spin, la dimension de l'espace ne varie pas mais on introduit une perturbation dans le hamiltonien, si bien que plusieurs valeurs apparaissent.

L'Effet Tunnel

Prenez une boule et faites la rouler vers le sommet d'une montagne. A moins de lui fournir l'énergie suffisante, la boule ne passera jamais ce sommet. La mécanique impose en effet, à une particule de posséder une énergie supérieure à une barrière de potentielle pour pouvoir passer cette barrière.

En mécanique quantique, ce n'est plus vrai. Ce phénomène est nommé effet tunnel. Le raisonnement en terme de vecteur d'onde permet d'affirmer que la boule aura toujours une probabilité, certe minime, mais non nulle, de traverser la montagne. Pour cela, on soumet le vecteur d'onde à l'équation de Schrödinger et on constate que cette fonction, de l'autre cöté de la barrière de potentiel, n'est pas nulle. Cela signifie donc que la particule a bien une probabilité non nulle de se trouver de l'autre cöté de cette barrière. Comment a-t-elle traversé ? On l'ignore. On ignore également le temps qu'elle a mis à traverser. A tel point que la vitesse de l'effet peut parfois sembler supérieure à celle de la lumière.

Mais plus que le déroulement de cette traversée mystérieuse, ce sont ses conséquences qui sont très importantes : le phénomène reste très rare, d'autant plus rare que la barrière à franchir est grande mais est bien vérifié expérimentalement. Par exemple, la particule alpha émise lors de la désintégration d'un noyau, est bloquée dans le noyau par une barrière de potentiel due à l'interaction forte. L'effet tunnel lui permet cependant de s'échapper. Ainsi, si les isotopes se désintègre d'autant plus rapidement que la barrière de potentiel est faible.

L'Influence sur les autres Théories

La mécanique quantique a rapidement connu un grand succès théorique de part le nombre de problèmes qu'elle a permis de résoudre. En effet, cette théorie n'a toujours pas été contredite aujoud'hui. On s'est donc inspiré de cette théorie pour décrire tous les problèmes microscopiques. Ainsi est née l'électrodynamique quantique ou théorie quantique des champs qui a connu un grand succès lors de la découverte en 1983 au CERN des bosons vectoriels intermédiaires W et Z, exactement aux énergies prévues par cette théorie. Ensuite, la chromodynamique quantique est apparue à son tour pour décrire les interactions entre quarks. Même si les calculs sont extrêmement compliqués à mener dans ces théories, des expérimentations numériques semblent converger vers les résultats pratiques.

La Mécanique Quantique Relativiste et les Particules à Masse Nulle

Si on considère des particules dont la vitesse est proche de celle de la lumière, l'équation de Schrödinger n'est plus valable. En effet, des effets relativistes apparaissent. Il faut donc modifier la théorie comme on a remplacé la mécanique classique par la relativité restreinte d'Einstein en 1905. On fait alors appel à une nouvelle équation, l'équation de Dirac (4). Par ailleurs, la relativité restreinte nous montre que les particules de masse nulle comme le photon, se déplacent toujours à la vitesse de la lumière. On est donc contraint d'utiliser également l'équation de Dirac, quelque soit le cas d'étude d'une de ces particules.

Mais en fait, plus qu'un changement d'équation, c'est toute la théorie qui est à revoir dans le cas où la masse est nulle. En effet, les particules massives sont décrites dans un espace de dimension 2s+1 où s est le spin, qui peut prendre n'importe quel valeur entière ou demi-entière. Par contre, les particules de masse nulle sont toujours décrites dans un espace de dimension 1. Mais leur spin peut prendre 1 ou 2 comme valeur. On voit donc que la signification du spin dans les deux cas n'est plus du tout la même. Dans le premier, le spin autorise 2s+1 états différents à la particule tandis que dans le second cas, celui où la masse est nulle, c'est la parité (symétrie par renversement d'un système dans un miroir) qui impose toujours deux états différents symétriques. C'est alors l'hélicité de la particule (obtenue en étudiant le groupe de Poincaré) qui définit ces deux états opposés ainsi que le spin de la particule.

Mes sources :