Dernière mise à jour: 2011/09/08.
Jusqu'au début du 20ème siècle, la mécanique classique de Newton paraissait être la théorie de la gravitation. En effet, celle-ci avait notamment permis à Le Verrier en 1885 de prévoir l'existence d'une nouvelle planète en étudiant les anomalies dans la trajectoire d'Uranus. Ses prédictions se sont révélées exactes et Neptune a aussitôt été découverte.
Pourtant, avec l'apparition de la relativité restreinte d'Einstein de 1905, une nouvelle vision de l'univers va voir le jour et conduire Einstein à développer une nouvelle théorie de la gravitation. Que va-t-elle apporter de concret à cette époque ? L'explication parfaite de l'avance au périhélie de Mercure. Mais pas grand chose de plus.
En revanche, de nos jours, avec le développement de la cosmologie et de l'astrophysique, la théorie classique de la gravitation est complètement oubliée. La Relativité Générale de 1916 est la seule théorie qui explique toutes les observations astronomiques, et elle n'a toujours pas été remise en cause.
La Relativité Restreinte de 1905 présente un gros inconvénient : elle ne permet d'étudier des phénomènes que dans des référentiels inertiels. On ne peut donc pas se placer dans des référentiels accélérés. En fait, la Relativité Restreinte ne s'applique qu'aux phénomènes utilisant des vitesses constantes ou alors à ceux de durée courte afin que la variation relative de la vitesse soit négligeable.
La Relativité Restreinte ne pouvait donc pas satisfaire les physiciens du début du 20ème siècle puisqu'elle ne gérait un des principaux problèmes de mécanique, la révolution d'un astre autour d'un autre. Le mouvement à force centrale est en effet le plus simple des mouvements accélérés mais sa formulation en terme de Relativité Restreinte nécessiterait de remplacer la distance par l'intervalle dans l'équation de la force de gravitation ce qui aurait rendu inexploitable cette équation.
Cependant, il n'y a pas que dans la gravitation que l'on rencontre des phénomènes accélérés. Par exemple, le frottement électromagnétique d'une charge électrique (qui résulte également de l'accélération) ne peut pas être décrit dans le cadre de la relativité restreinte, qui a pourtant été construite afin de satisfaire la théorie de Maxwell de l'Électromagnétisme.
Il semble donc désormais naturel qu'Einstein se soit attaché à compléter cette théorie afin de pouvoir décrire tous les phénomènes, qu'ils soient accélérés ou pas.
La relativité restreinte nous a montré qu'un signal ne peut se transmettre à une vitesse supérieure à celle de la lumière. L'action d'une force ne peut pas être immédiate et il en résulte que le principe des Actions Réciproques, si cher à la mécanique classique, disparaît complètement en relativité.
Aussi, lorsqu'une planète se meut autour du soleil, la force d'attraction due au soleil à un instant va donc s'appliquer légèrement plus tard, et donc non perpendiculairement à la vitesse, ce qui implique une modification des résultats de la mécanique classique. Il peut donc y avoir une composante transversale à la force de gravitation. Et en fait, on voit que cette composante n'existe que lorsque la planète se déplace. Elle est donc liée à la vitesse des corps. Mais comme cette vitesse peut être localement annulée par champ de référentiel inertiel, elle est en fait liée à l'accélération du corps.
Cependant, pour calculer précisément cette seconde composante, Einstein a tout d'abord remarqué que sa valeur devait être très faible puisque la théorie classique, qui s'en passe, décrit assez bien la plupart des phénomènes. Ce second terme serait donc négligeable pendant des durées assez faibles mais prendrait toute son importance avec le temps, comme dans le cas de l'avance au périhélie de Mercure. Ceci a conduit Einstein à s'inspirer de la théorie contemporaine de l'électromagnétisme qui, comme nous allons le voir, se révèle très proche de ce problème.
En électromagnétisme, la force de Lorentz reste parallèle au rayon vecteur tant que les charges ne sont pas en mouvement. Par contre, lorsque ces charges se déplacent, le produit vectoriel entre leur vitesse et le champ magnétique devient non-nul. Ce terme engendre alors une composante transversale de la force électromagnétique. Cependant, ce deuxième terme fait intervenir le rapport des vitesses de la particule et de la lumière et est donc souvent faible devant la composante tangentielle.
On aurait donc en fait superposition du champ gravitationnel habituel qui correspond au champ électrique et d'un autre champ inconnu correspondant au champ magnétique. Les effets de ce champ superposé sont bien évidemment très faibles.
Par ailleurs, on peut remarquer que les particules peuvent facilement s'approcher de la vitesse de la lumière et rendre ainsi le deuxième terme électromagnétique non-négligeable. Par contre, dans le cas de la gravitation et des astres habituels auxquels on l'applique, les vitesses sont bien trop faibles pour que ce deuxième terme soit mesurable. Ceci peut donc expliquer qu'on n'avait jamais supposé avant Einstein l'existence de ce second terme. Maintenant, si on s'intéresse à des systèmes beaucoup plus grands tels que des galaxies, il n'est plus forcément négligeable. De même, sur des durées beaucoup plus importantes, son influence peut finir par se faire sentir comme dans le cas de l'avance au périhélie de Mercure.
Précisons maintenant la nature de cette force transversale : comme en électromagnétisme, elle est due à la vitesse et à l'accélération du corps.
Le principe d'équivalence énoncé par Einstein affirme que le système constitué d'un objet accéléré par rapport aux étoiles est strictement équivalent au système où cet objet est immobile dans un champ gravitationnel uniforme. En fait, cela revient à dire que l'accélération d'un corps est entièrement due à l'attraction gravitationnelle de tous les autres corps de l'univers.
Le second terme du champ gravitationnel d'un corps est donc en fait dû à l'attraction gravitationnelle de tous les autres. Le principe de Mach affirme que ce sont les masses gravitationnelles de tous les autres corps qui engendrent la masse inertielle, c'est à dire la masse d'un corps telle qu'elle intervient dans la relation fondamentale de la dynamique, conjointement à l'accélération. On obtient donc en fait un second terme dû à la masse inertielle d'un corps alors que le terme habituel est dû à la masse gravitationnelle de ce corps (la masse qui intervient dans l'expression classique de la force de Gravitation).
Chacune des deux composantes du champ correspond donc en fait à une des deux masses du corps considéré. Ces deux masses sont-elles identiques ? A priori rien ne l'oblige mais des expériences ont montré que l'erreur relative est inférieure à 1E-11. Si elles sont réellement égales, ce que ces expériences tendent à prouver, on peut en déduire une relation entre la densité moyenne de masse dans l'univers, la constante de Hubble et la constante Gravitationnelle.
La Relativité Générale se base sur le principe d'équivalence des masses gravitationnelles et inertielles, principe dont l'expérience semble confirmer la validité. Au lieu de considérer des forces, cette théorie utilise seulement un champ gravitationnel, l'Espace-Temps. De ce fait, la Relativité Générale se scinde en deux grandes parties : comment les masses (et donc l'énergie puisqu'elles sont équivalentes d'après la célèbre relation E=mc²) courbe-t-elle l'espace-temps ? Et comment un objet se déplace-t-il dans cet espace temps courbé ?
Le trajet de la lumière est d'après le principe de Fermat, le chemin le plus court entre deux points. Ce chemin est appelé géodésique et correspond, dans le cas d'un espace non-courbé, à une ligne droite. Mais la présence de masses courbe l'espace-temps et conduit donc la lumière à ne plus se déplacer en ligne droite.
Les espaces courbés ont été très étudiés par les mathématiciens, Riemann, Bolyai et Lobatchevski notamment, au cours du 19ème. Il est ressorti des propriétés très étranges : lorsque la courbure est positive, un espace à deux dimensions peut être représenté sur une sphère. On remarque alors que la somme des trois angles d'un triangle est supérieure à 180° tandis que des droites "parallèles" finissent toujours par se croiser. Si la courbure est négative, un espace à deux dimensions pourra être représenté sur un paraboloïde hyperbolique. On constate alors que la somme des trois angles d'un triangle est inférieure à 180° tandis que par un point passe une infinité de droites parallèles à une autre droite, fixe. Ces géométries très étranges sont très liées à la forme et à l'évolution de l'univers.
En développant cette théorie, Einstein a utilisé le formalisme tensoriel en permanence, ce qui rend très abstraites les équations de la Relativité Générale, mais en même simplifie considérablement les calculs. On introduit des métriques, c'est à dire une sorte de base l'espace temps et on redéfinit les géodésiques pour cette métrique, c'est à dire les courbes sur lesquelles le champ gravitationnel est constant. L'introduction du tenseur de Riemann et par là même de la courbure locale de l'espace temps conduit alors aux équations d'Einstein qui relient ce tenseur au tenseur Impulsion-Energie.
Tout ceci reste bien-sûr très abstrait et moi-même, je n'y comprends pas grand chose. Cependant, cela permet d'obtenir rapidement des résultats surprenant.
L'application la plus simple des équations d'Einstein est le calcul du champ gravitationnel créé par un astre à symétrie sphérique. Einstein avait le premier calculé la forme de l'espace-temps en présence d'une masse ponctuelle mais il avait fait quelques approximations. La première solution exacte a été obtenue par Schwarzschild en 1916. En fait, il a obtenu plusieurs solutions mais elles correspondaient toutes à la même situations physiques, représentées dans des systèmes de coordonnées différents. Il s'est ensuite avéré que cette solution était en fait exacte pour tout corps à symétrie sphérique.
![[Rayon de Schwarzschild]](images/schwarzschild.png)
Le calcul du carré de l'intervalle dans la métrique de Schwarzschild en coordonnées sphériques conduit à un résultat qui n'est pas toujours défini.
En effet, pour une valeur rg du rayon, l'intervalle devient infini.
C'est ce qu'on appelle le rayon de Schwarzschild.
Heureusement, dans la plupart des cas, le rayon de Schwarzschild est beaucoup plus petit que l'astre lui-même :
3 km pour le soleil, 9 mm pour la terre et 1E-56 m pour le proton.
Néanmoins, on peut envisager des situations où la densité de masse est telle que l'astre est entièrement à l'intérieur de la sphère de Schwarzschild.
Le lumière ne peut alors pas s'en échapper puisque l'intervalle à parcourir est infinie.
C'est suite à ce résultat qu'est apparu le terme "trou noir".
On connaît désormais de nombreux Effets de la Relativité Générale.